Эта научная работа началась с изучения интересной гипотезы Кеплера, имеющей богатую историю. Она берет начало с обычной снежинки и потребовала 400 лет для доказательства. Несмотря на значимость этой гипотезы, информации по данной теме крайне мало, а иллюстраций — еще меньше.

Столкнувшись с этой проблемой, мы пришли к идее создания различных 3D-моделей, которые помогут глубже понять суть гипотезы. Эти 3D-модели, основанные на данных гипотезы Кеплера, могут привести к значительному прорыву в развитии различных областей нашей жизни.

Все модели будут в свободном доступе, что поможет многим исследователям и энтузиастам в их научной работе и открытиях. Каждая модель имеет свой смысл и доказательства, связанные с гипотезой Кеплера.

Эта гипотеза уже охватывает такие области, как физика, химия, логистика, а также включает в себя элементы компьютерной графики. Благодаря нашим 3D-моделям ученые и энтузиасты смогут свободно экспериментировать и исследовать новые горизонты в виртуальном 3D-мире.

Figure 1. Our 3D models

В 1611 году немецкий ученый Иоганн Кеплер в своей работе «О шестиугольной снежинке» впервые сформулировал гипотезу, которая оказала огромное влияние на развитие математических наук. Эта гипотеза утверждает, что самая плотная упаковка в трёхмерном пространстве достигается в шестиугольной или кубической решётке.

Идея возникла у Кеплера после того, как он заметил, что снежинки имеют идеальную шестиугольную форму. Это наблюдение пришло к нему случайно – во время новогоднего праздника, когда снежинки упали на его плащ. Кеплер задавался вопросом: «Почему шесть? Какова физическая причина этого?» Эти вопросы стали для него вызовом, который он стремился решить.

Однако доказательство гипотезы заняло более четырёх веков. Лишь благодаря усилиям математиков и развитию компьютерных технологий удалось подтвердить её истинность.

Этот научный поиск привёл к формулировке одного из важнейших вопросов геометрии: как плотно можно упаковать идентичные сферы в трёхмерном пространстве? Гипотеза Кеплера утверждает, что наиболее плотная упаковка достигается, если сферы расположены в форме шестиугольной плотной упаковки (HDP) или кубической плотной упаковки (CDP) – аналогично тому, как складываются апельсины в пирамидку.

 Figure 2. Title page of the first edition of I. Kepler's work On Hexagonal Snowflakes, 1611.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf

Эта проблема приобрела большое значение не только в математике, но и в физике, химии, материаловедении и других областях науки. Полное доказательство гипотезы стало возможным только в конце XX века благодаря развитию компьютерных технологий. А ее упрощенная форма доказательства была представлена только в начале XXI века. В данной статье рассматривается история гипотезы, ключевые этапы ее доказательства и влияние на современную науку.

1. Идея Кеплера: В своей работе 1611 года Кеплер обратил внимание на шестиугольные структуры снежинок и предложил, что плотность упаковки сфер в природе максимальна при шестиугольном расположении. Кеплер для дальнейших анализов и исследований взял такие известные и, на первый взгляд, обычные вещи, как пчелиные соты, которые строятся по шестиугольнику, а также гранат и был поставлен вопрос: почему он имеет ромбовидную форму? Однако эта гипотеза не была доказана Кеплером и была передана следующим великим умам.

Figure 3 . 6-sided snowflake. Credits:  keplers-new-years-gift-on-the-six-cornered-snowflake

2. Достижения Гаусса (1831): Гаусс доказал, что среди всех решеточных упаковок сфер ф.ц.к. (гексагональная) структура обеспечивает наибольшую плотность. Это был ключевой шаг в подтверждении гипотезы Кеплера при условии, что сферы расположены в регулярной решетке.

Ограничения: Хотя Гаусс установил максимальную плотность для регулярных расположений, он признал сложность доказательства гипотезы для нерегулярных или непериодических упаковок. Он отметил, что, хотя нерегулярные расположения могут достигать более высокой плотности на малых объемах, расширение этих расположений на большие объемы в конечном итоге приведет к снижению их плотности.

3. Работа Томаса Хейлса (1998-2014): Томас Хейлс завершил доказательство гипотезы Кеплера в 1998 году, используя вычислительные методы. Хейлс занимался доказательством гипотезы Кеплера с 1992 по 1998 год. Однако из-за недостаточной развитости технологий доказательство было точно подтверждено и проверено компьютерными системами только в 2014-2015 годах.

Гипотеза Кеплера: Гипотеза утверждает, что максимальная плотность упаковки одинаковых сфер достигается при расположении по ф.ц.к. структуре с плотностью

π/√18 ≈ 0,74, что означает, что примерно 25,95% объема остаются незаполненными.

 Figure 4. Credits: mathematical-mysteries-keplers-conjecture     

Figure5.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf

Логистика и доставка: Принципы, выведенные из гипотезы Кеплера, могут оптимизировать упаковку сферических объектов, таких как фрукты или мячи, при транспортировке и хранении. Эффективная упаковка минимизирует потери пространства, что ведет к экономии средств на транспортировке и хранении.
Сжатие данных: Алгоритмы, разработанные в процессе доказательства гипотезы Кеплера, находят применение в цифровом сжатии данных. Понимание более плотной упаковки данных улучшает эффективность хранения и ускоряет процессы передачи данных.
Материаловедение: Понимание атомных структур в кристаллических решетках, полученное из гипотезы, помогает исследователям разрабатывать новые материалы с особыми свойствами, поскольку расположение атомов существенно влияет на поведение материала.
Управление движением: Техники линейной оптимизации, использованные для доказательства гипотезы, применимы в системах управления движением. Эти методы могут оптимизировать маршруты и снижать заторы, что способствует более эффективному городскому планированию.
Теория кодирования: Принципы гипотезы аналогичны проблемам в теории кодирования, где оптимальные расположения кодов могут улучшить исправление ошибок и целостность данных при передаче.
Компьютерная графика: В компьютерной графике понимание упаковки сфер может улучшить техники рендеринга, оптимизируя размещение объектов в трехмерном пространстве, что повышает визуальный реализм и производительность.
Междисциплинарные исследования: Поиск доказательства гипотезы Кеплера стимулировал развитие вычислительной математики и алгоритмов. Эти исследования способствуют сотрудничеству математиков, физиков, компьютерных ученых и инженеров, улучшая возможности решения проблем в различных областях науки.
Математическое исследование: Методы, разработанные для доказательства гипотезы, имеют более широкие применения для решения других сложных математических проблем, что демонстрирует взаимосвязанность математических теорий и их приложений.

Гипотеза Кеплера — уникальный и редкий пример того, как простое наблюдение за природой и интерес могут привести к формированию фундаментальной математической проблемы. Ее доказательство, которое потребовало много времени и было подтверждено только с помощью компьютерных технологий нашего времени, не только подтвердило гениальность интуиции Кеплера, но и открыло новую эру и новые возможности не только в математике, но и в жизни людей, где традиционные методы дополняются вычислительными.

Современные применения гипотезы охватывают широкий спектр наук, включая физику, химию, биологию, логистику и даже компьютерную графику. Она остается символом связи между природой, математикой и новыми технологиями нового времени, показывая, что новые решения и прорывы не могут быть инициированы и решены без учета прошлого.

1.  http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
2.  https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/002/06/0060-0067
3. https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf
4. https://phys.org/news/2017-06-mathematicians-formal-proof-kepler-conjecture.html
5. https://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html
6. https://ars.electronica.art/aeblog/en/2017/05/31/die-keplersche-vermutung/