Бұл жазба автоматты түрде аударылған. Бастапқы тіл: Ағылшын
Бұл зерттеу жұмысы Кеплердің қызықты гипотезасын ашудан басталды, оның бай тарихы бар, ол қарапайым қар ұшқынан басталып, 400 жыл бойы дәлелденді. Осы гипотезаның бай тарихы болса да, бұл тақырып бойынша ақпарат өте аз және иллюстрациялар тіптен жоқ. Бұл мәселеге тап болғанымызда, біз гипотезаның мәнін түсіну мен дамыту үшін әртүрлі 3D модельдер жасау идеясына келдік. Кеплердің гипотезасы негізінде жасалған бұл 3D модельдер біздің өміріміздің түрлі салаларында маңызды жетістіктерге әкелуі мүмкін. Модельдер тегін қолжетімді болады, бұл көп адамдарға зерттеу мен ашылымдарында үлкен көмек көрсетеді. Әрбір модель Кеплердің гипотезасындағы өз мағынасы мен дәлелдеріне ие. Бұл гипотеза физика, химия, логистика салаларын қамтып, компьютерлік графикамен де байланысады. Біздің 3D модельдерімізбен ғалымдар мен энтузиасттар виртуалды 3D әлемінде жаңа зерттеу көкжиектерін зерттеу мен тәжірибе жасауға еркін мүмкіндіктер алады.
Figure 1. Our 3D models
1611 жылы неміс ғалымы Иоганнес Кеплер өзінің «Алтыбұрышты қар ұшқыны» деген жұмысында алғаш рет математикалық ғылымдардың болашағына үлкен әсер еткен гипотезаны ұсынды. Бұл гипотеза үш өлшемді кеңістіктегі ең тығыз орауды алтыбұрышты немесе кубтық торда жүзеге асыруға болады деп мәлімдеді. Бұл идея Кеплерге қар ұшқындарының мінсіз алтыбұрышты пішінін байқағаннан кейін келді, ол жаңа жыл кешінде қар ұшқындары тек оның пальтосына түскенін көрді. Иоганнес Кеплер жиі «Неліктен алты? Оған қандай физикалық себеп болды?» деген сұрақ қойды, бұл сұрақтар Кеплер үшін шешуді қажет ететін қиындық болды. Алайда, бұл гипотезаны дәлелдеу үшін адамзатқа төрт ғасырға жуық уақыт қажет болды. Математиктердің күш-жігері мен олардың есептеулері арқасында бұл гипотеза компьютерлік технологиялардың дамуы арқасында дәлелденді. Осы талпыныстың арқасында гипотеза ұсынылып, геометриядағы ең маңызды сұрақтардың бірінің негізі болды: бірдей сфераларды үш өлшемді кеңістікте қаншалықты тығыз орауға болады? Гипотеза бойынша ең жақсы орау тәсілі — сфераларды алтыбұрышты тығыз орау (HDP) немесе кубтық тығыз орау (CDP) түрінде орналастыру, мысалы, апельсиндер қатары сияқты.
Figure 2. Title page of the first edition of I. Kepler's work On Hexagonal Snowflakes, 1611.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
Бұл мәселе тек математикада ғана емес, физика, химия, материалтану және басқа да ғылым салаларында үлкен маңызға ие болды. Гипотезаның толық дәлелі тек XX ғасырдың соңында компьютерлік технологиялардың дамуы арқасында мүмкін болды. Ал оның қарапайымдалған түрдегі дәлелі тек XXI ғасырдың басында ұсынылды. Бұл мақала гипотезаның тарихын, оның дәлелдеу кезеңдерін және қазіргі ғылымға әсерін қарастырады.
- Кеплердің идеясы: 1611 жылы Кеплер өзінің жұмысында қар ұшқындарының алтыбұрышты құрылымдарына назар аударды және табиғатта сфералардың орау тығыздығы алтыбұрышты құрылымда максималды болатынын ұсынды. Кеплер әрі қарайғы талдаулар мен зерттеулер үшін бізге алғашқы қарағанда таныс әрі әдеттегі нәрселерді алды, мысалы, алтыбұрышты құрылымда жасалған ара ұясы және тағы да бір мысал ретінде анар алынды, сонда оның ромб тәріздес формасының себебі не деп сұрақ қойылды. Бірақ бұл гипотезаны Кеплер дәлелдемеді, ол оны келесі ұлы ойшылдарға тапсырды.[1]
Figure 3 . 6-sided snowflake. Credits: keplers-new-years-gift-on-the-six-cornered-snowflake
- Гаусс жетістіктері (1831): Гаусс барлық торлы ораулар арасында f.c.c. (жүзеге асырылған алаңның орталық бөлігіне орналасқан) құрылымы ең жоғары тығыздықты қамтамасыз ететінін дәлелдеді. Бұл Кеплер гипотезасын тексеруде маңызды қадам болды, әсіресе сфералар реттелген торда орналастырылған жағдайда.
Шектеулер: Гаусс реттелген ораулар үшін максималды тығыздықты орнатқанымен, ол ретсіз немесе периодты емес орауларды дәлелдеудің күрделілігін мойындады. Ол ретсіз ораулар аз көлемдерде жоғары тығыздыққа қол жеткізуі мүмкін екенін атап өтті, бірақ осы орауларды үлкен көлемдерге кеңейткен кезде олардың тығыздығы азаятынын айтты.[2]
- Томас Хейлстің жұмысы (1998-2014): Томас Хейлс 1998 жылы Кеплер гипотезасының дәлелін компьютерлік әдістерді пайдаланып аяқтады. Кеплер гипотезасын дәлелдеу бойынша Хейлс 1992-1998 жылдары жұмыс істеді. Алайда, технологияның дамымауы себепті дәлел тек 2014-2015 жылдары компьютерлік жүйелермен толық дәлелденіп, тексерілді.[3;4]
Кеплер гипотезасы: Гипотеза бойынша, сәйкес сфераларды ораудың максималды тығыздығы алаңның орталық бөлігіне орналасқан кубтық құрылымда қол жеткізіледі, оның тығыздығы:
π/√18≈0.74, яғни көлемнің шамамен 25.95%-ы толтырылған емес.[5]
Figure 4. Credits: mathematical-mysteries-keplers-conjecture
Figure5.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
-
1. http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
- https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/002/06/0060-0067
- https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf
- https://phys.org/news/2017-06-mathematicians-formal-proof-kepler-conjecture.html
- https://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html
- https://ars.electronica.art/aeblog/en/2017/05/31/die-keplersche-vermutung/
This research paper started with the discovery of an interesting hypothesis of Kepler with a rich history, which started with an ordinary snowflake and took 400 years to prove. Although this hypothesis has a rich history, there is very little information on this topic and even less illustrations. Finding this problem we had the idea of creating various 3D models on this topic to improve and understand the essence of the hypothesis. These 3D models built from the data on Kepler's hypothesis could make a major breakthrough in the development of various areas of our lives. The models will be freely available, this will help a lot of people for their research and discoveries. Each model has its own meaning and evidence in Kepler's hypothesis. This hypothesis already covers physics, chemistry, logistics and also involves computer graphics. With our 3D models, scientists and enthusiasts are free to experiment and explore new research horizons in a virtual 3D world.
Figure 1. Our 3D models
In 1611 the German scientist Johannes Kepler in his work ‘On the Hexagonal Snowflake’ for the first time formulated a hypothesis that greatly influenced the future of the mathematical sciences, this hypothesis states that the densest packing in three-dimensional space is achieved in a hexagonal or cubic lattice. This idea originated with Kepler after realising that snowflakes have a perfect hexagonal shape, after snowflakes fell on his coat alone during a New Year's Eve party. Johannes Kepler often asked the question, ‘Why six? What was the physical reason for this?’, these questions were a challenge for Kepler to solve this question.However, it took more than four centuries of humanity to prove the hypothesis, thanks to the efforts of mathematicians and their calculations this hypothesis succeeded thanks to the development of computer technology. Thanks to this attempt, the hypothesis was put forward, which became the basis for one of the most important questions in geometry: how densely can identical spheres be packed in three-dimensional space? The hypothesis states that the best way of packing is to arrange the spheres in the form of hexagonal dense packing (HDP) or cubic dense packing (CDP), as in stacks of oranges.[1]
Figure 2. Title page of the first edition of I. Kepler's work On Hexagonal Snowflakes, 1611.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
This problem has acquired great importance not only in mathematics, but also in physics, chemistry, materials science and other fields of science. Full proof of the hypothesis became possible only at the end of XX century due to the development of computer technologies. And its simplified form of proof was presented only in the beginning of XXI century. This article considers the history of the hypothesis, the key stages of its proof and its impact on modern science.
1)Kepler's idea:In his work of 1611 Kepler paid attention to hexagonal structures of snowflakes and suggested that the packing density of spheres in nature is maximum at hexagonal arrangement. Kepler took for the further analyses and researches known and usual at first sight to us things such as bee honeycomb which are constructed on hexagon and also was taken a pomegranate and the question was asked why it has a rhomboidal form? But this hypothesis was not proved by Kepler that passed on to the next great minds.[1]
Figure 3 . 6-sided snowflake. Credits: keplers-new-years-gift-on-the-six-cornered-snowflake
2)The achievements of Gauss (1831):Gauss proved that among all lattice packings of spheres, the f.c.c. arrangement provides the highest density. This was a crucial step in confirming Kepler's conjecture under the condition that spheres are arranged in a regular lattice.
Limitations: Although Gauss established the maximum density for regular arrangements, he acknowledged the complexity of proving the conjecture for irregular or non-periodic packings. He indicated that while irregular arrangements might achieve higher densities over small volumes, extending these arrangements to larger volumes would ultimately reduce their density.[2]
3)The work of Thomas Hales (1998-2014):Thomas Hales completed the proof of Kepler's hypothesis in 1998, using computational methods.The proof of Kepler's hypothesis Hales was engaged in from 1992 to 1998. But due to the underdevelopment of technology the proof was accurately proved and verified by computer systems only in 2014-2015.[3;4]
Kepler Conjecture: The conjecture states that the maximum density for packing congruent spheres is achieved by the face-centered cubic arrangement, with a density of
π/√18≈0.74, meaning that approximately 25.95% of the volume remains unfilled.[5]
Figure 4. Credits: mathematical-mysteries-keplers-conjecture
Figure5.Credits:http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
- Logistics and Shipping: The principles derived from the Kepler Conjecture can optimize the packing of spherical objects, such as fruits or balls, in shipping and storage. Efficient packing minimizes wasted space, leading to cost savings in transportation and storage.
- Data Compression: The algorithms developed during the proof of the Kepler Conjecture have applications in digital data compression. By understanding how to pack data more densely, these methods improve storage efficiency and speed up data transmission processes.
- Material Science: Insights from the conjecture help researchers understand atomic arrangements in crystalline structures. This knowledge is crucial for developing new materials with specific properties, as the arrangement of atoms significantly influences material behavior.
- Traffic Management: Techniques related to linear optimization used in proving the conjecture are applicable in traffic management systems. These methods can optimize routes and reduce congestion, contributing to more efficient urban planning.
- Coding Theory: The conjecture's principles are analogous to problems in coding theory, where optimal arrangements of codes can enhance error correction and data integrity during transmission6.
- Computer Graphics: In computer graphics, understanding sphere packing can improve rendering techniques by optimizing how objects are placed within a three-dimensional space, enhancing visual realism and performance.
- Interdisciplinary Research: The quest to prove the Kepler Conjecture has spurred advancements in computational mathematics and algorithm development. This research fosters collaboration among mathematicians, physicists, computer scientists, and engineers, enhancing problem-solving capabilities across various scientific domains.
- Mathematical Exploration: The methods developed for proving the conjecture have broader implications for solving other complex mathematical problems, demonstrating the interconnectedness of mathematical theories and their applications.
Kepler's hypothesis is a unique and rare example of how a simple observation of nature and fun can lead to the formation of a fundamental mathematical problem. Its proof, which took a great deal of time and was proved only with the help of computer technology of our time, not only confirmed the genius of Kepler's intuition, but also marked a new era and new opportunities not only in mathematics but also in people's lives, where traditional methods are complemented by computational ones.
Modern applications of the hypothesis cover a wide range of sciences, including physics, chemistry, biology, logistics and even computer graphics. It remains a symbol of the link between nature, mathematics and the new technologies of the new age, showing that new solutions and breakthroughs cannot be initiated and solved without the past.
- http://www.joostwitte.nl/M_Galilei/Johannes_kepler_snowflake.pdf
- https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/002/06/0060-0067
- https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf
- https://phys.org/news/2017-06-mathematicians-formal-proof-kepler-conjecture.html
- https://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html
- https://ars.electronica.art/aeblog/en/2017/05/31/die-keplersche-vermutung/
